6174是一个非常神奇的数字。乍一看，它可能不这么明显。但是，正如我们即将看到，任何人都可以通过简单的减法去发现6174的特别之处。

Kaprekar变换

1949年，来自印度德伏拉利(Devlali)数学家D.R.Kaprekar设计了一个现在被称为Kaprekar变换的操作。首先选择一个四位不全相同的整数（即不是1111，2222，...），然后重新安排每一位上的数字得到一个最大数和最小数。接着，用最大的数减去最小的数从而获得一个新的数。重复以上操作以不断得到新的数。

这是一个简单的变换，但Kaprekar却发现它导致了一个令人吃惊的结果。让我们试试吧，去年是2005年，那就从2005开始。重排这个数的四个位数得到最大数是5200，最小数是0025，即25（如果有一个以上的0，那就把0放左边）。接下来的过程如下：

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

当我们得到6174这个数后，下一步都会得到6174这个数，以后每一步都不断重复。我们把6174这个数称为这个变换的核。所以6174是一个Kaprekar变换的核，但这是不是仅仅由一个数出发而得到6174的特殊例子？接下来我们可以看到6174不仅仅是Kaprekar变换的特例，有更多的惊喜等待着我们。让我们用不同地点整数再试一次，比如1789。

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

我们又得到了6174！

当我们从2005开始到6174需要7步操作，而1789需要3步。事实上，对于所有四位不全相同的数字通过以上操作都能达到6174这个唯一的数。很神奇，不是吗？Kaprekar变换是如此的简单却从中发现了这个有趣的结果。当我们去思考为什么会是这个神秘的数字6174时，这个过程会更加有趣。

只有6174？

任何四位整数的四个位数都可以通过降序排列得到一个最大的数，而通过升序排列得到一个最小的数。比如有四个整数a,b,c,d他们之间的关系如下：

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

且a,b,c,d不全相同，则最大的数是abcd而最小的数是dcba

我们可以通过标准的竖式减法来得到Kaprekar变换的结果：

而结果各位数存在以下关系：

因为a>b>c>d。

如果得出的ABCD可以通过4个最初给出的数a,b,c,d表示的话，那么一个数便会通过Kaprekar变换重复出现。所以我们可以通过考虑{a, b, c, d}的所有可能的组合来判断是否满足以上条件，若符合的话便找到了Kaprekar变换的核。 每个组合（一共有4！=24种组合）给出一个含有四个未知数的联立方程组，所以我们能够解出a,b,c,d。

容易得出只有一种组合得到整数解且满足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0的条件。这个组合便是ABCD=bdac，而这种情况下联立方程组的解为a=7, b=6, c=4 和 d=1，即ABCD=6174。 然而如果a=b=c=d，则方程无解。因此6174是Kaprekar变换下唯一不变的数字-我们的神秘数字的确是独特的。

而对于三位数，同样的现象发生了。例如对753进行Kaprekar变换，步骤如下：

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

数字495便是三位数在Kaprekar变换下的唯一的核，易验证所有的三位数通过这个变换都会得到495，有兴趣的读者可以自行验证。

达到6174最多需要几步？

我第一次知道6174这个奇特的数是1975年，一个朋友告诉我的，当时给我留下了深刻的印象。我认为弄清楚这个现象为何发生比证明它要难得多。我用计算机去验证是否所有的四位数（四位不全相同）能否通过有限步达到6174这个核。这个程序是大概50行的Visual Basic语言编写，验证了所有8991个符合条件的四位数。

下表显示了运算结果：每个四位不全相同的四位数通过Kaprekar变换达到6174最多仅需7步。如果你用一个四位数通过Kaprekar变换并未在七步之内达到6174那就是你算错了！

怎样达到6174？

我的计算机程序验证了所有8991个数，不过Malcolm Lines的文章解释说验证Kaprekar变换仅需验证30个数就包含了所有可能的情况。

如前文一样，设一个四位数abcd，满足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

让我们进行第一次减法。最大的数是1000a+100b+10c+d 而最小的数是1000d+100c+10b+a 。所以这一步减法过程如下：

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c)

其中1<(a-d)<9，0<(b-c)<9。通过遍历所有的可能情况，我们可以得到经过一次减法后结果的所有可能。如表1所示

表1：执行一次kaprekar变换后的所有可能结果

我们只需对a,b,c,d不全相等且符合条件a ≥ b ≥ c ≥ d的数进行考察，因此我们只需考虑 (a-d) ≥ (b-c)的情况。所以表中灰色部分(a-d) < (b-c)可以略去。

现在我们将表中每个数的四位数降序排列，得到新的最大数准备做第二次减法：

表2：准备做第二次减法的最大数

我们可以忽略掉表2中的重复部分（灰色区域），最后剩下30个数去执行后续的步骤。下图显示了这些数是如何达到6174的。

这30个数达到6174的路径

从这个图可以清楚地看到任何四位数最多仅需7步就可达到6174。即便如此，我仍然认为这是十分神秘的。我猜测这个数的发现者Kaprekar要不绝顶聪明要不就花了很多时间去想这个问题！

两位数，五位数，六位或者更多...

我们已经看到四位数和三位数可以达到唯一的一个核，不过其他数呢？事实证明这样得到的结果与上文相比逊色许多。让我们试一个两位数，比如28：

82 - 28 = 54
54 - 45 =   9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 =   9

不用花太长时间就可发现两位数会得到一个循环9→81→63→27→45→9。不像三位数或四位数那样会得到一个唯一的核。

不过五位数呢？可以找到一个类似6174或495那样的五位数的核吗？要回答这个问题我们可以用和前面类似的方法去分析：验证120种{a,b,c,d,e} 的可能组合符合条件

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

且

abcde - edcba = ABCDE

值得庆幸的是这个工作可以由计算机来完成，结果是五位数并不能得到一个唯一的核。不过所有的五位数通过Karprekar变换可以得到以下的三个循环：

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

就像Malcolm Lines在他的文章中指出的那样，验证六位或更多位数需要耗费大量的时间，这项工作变得极其乏味！为了避免你重走旧路，下表列出了两位数到十位数的验证结果（更多结果可见Mathews Archive of Recreational Mathematics）。从中我们可以看到只有三位数和四位数得到了唯一的核。

优美的结果，但它是特例吗？

我们已经看到通过Kaprekar变换所有的三位数得到495，所有的四位数得到6174。不过我并未解释为何这些数字会得到一个唯一的核。这仅仅是巧合，还是有一些更深层次的数学包含其中？优美而神秘的结果，它可能是偶然的。

让我们暂且打住并考虑日本人Yukio Yamamoto的一个有趣的谜题。

如果将两个五位数相乘将得到123456789，你能否猜出这两个五位数？

这是一个优美的谜题，而且你很可能猜想里面暗含了很深的数学理论。不过事实上它美丽仅仅是由于它是巧合，有许多类似但却没这么优美的例子。比如：

（我们可以给你提示以帮助解决这类谜题，这里是答案）

 如果我给你Yamamoto的谜题你可能因为题目的优美而抱着极大的兴趣去解决它，不过如果我给你第二个谜题那你可能会对它不屑一顾。我认为Kaprekar的问题和Yamamoto的数字谜题是类似的。我们被它们题目的优美表达所吸引，进而感觉到它们背后隐藏着更深的理论去发掘，然而结果很可能是巧合。类似的误解也曾在过去促进了数学乃至科学的进一步发展。

只知道所有的四位数通过Kaprekar变换可以达到6174而不去理会为什么会有这个结果，这样可以吗？到目前为止，没人能够断定三位数或四位数的Kaprekar变换存在唯一的核仅仅是偶然现象。这一性质如此惊人以致于让我们期待一个数论的伟大理论隐含其中。如果我们回答这个问题的话我们可能发现这只是一个美丽的误解，不过我们不希望是这样。

编辑的话：许多读者发觉所有的karekar变换核位数相加后等于9（译者注：原文有误，应该是被9整除），想知道为什么的话可以看这里 。

参考文献：

Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993)

【本文翻译仅为外语学习及阅读目的，原文作者个人观点与译者及译言网无关】