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解题是数学教育中实践性最强的环节,被誉为“当今数学莫扎特”的陶哲轩在其博客的“数学职业生涯建言”系列文章中“知无不言,言无不尽”地开诚布公了他对数学学术生涯的独到见解,其中饱含凝聚着他逐步成长为一名职业数学家过程中的学习体会,此帖是本科阶段的第一篇,表达了他对数学解题的看法。

解题

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译者:honest Translate 原文作者:Terence Tao
发布:2010-07-31 12:58:09 挑错
我把探索到的每个真理作为继续探索其他真理的准绳René Descartes谈谈方法》)

  解题当然是数学的一个重要方面,不管是课后习题还是未解决的数学难题,不过解题并不是数学的全部。在你进入数学研究生涯的成熟期以后,你会发现数学问题的解决主要依靠专业知识(你所从事的领域及其交叉领域)、经验、耐心勤奋。但对你在小学、中学及大学阶段或数学竞赛中遇到的问题[1],却需要一种稍为不同的成型解题技巧。我曾写过一本关于如何解决这类数学问题的,值得一提的是,第一章[2]讨论了具有普遍性的解题策略。当然还有其他关于数学解题的书,如数学教育家 Polya 的经典之作《如何解题》,我参加奥林匹克数学竞赛时曾从中获益非浅。
  做习题是真正学好一门数学课程的基本环节,它可以让你练练手[3]而不只是撇撇嘴,尤为重要的是它能考量出你对所学内容掌握不足的地方。坚持独立思考把问题理解清楚是值得的,而不是仅仅为了考取好成绩这样的短期目标。如果你现在不能解决这些问题,在课程的后续章节或后续课程中它们会让你更加吃力。
  我发现琢磨问题对理解埋藏在答案下面的理路很有帮助,即使在你已经解决了问题之后[4],比如,你可以试着去掉命题的一些前提条件,或证明一个更强的命题,请看问自己一些愚蠢的问题
  还有一点要切记的是得到问题的解只是解决数学问题的短期目标,更长远的目标应该是增进你对数学学科的理解。有个经验法则是如果你不能把解题思路和步骤对你的同学讲清楚,那就说明你还没有真正理解自己给出的解,那你可能还需要进一步思考问题(比如,把你已做出的解答合上再试着解一次)。
  请参阅 Eric Schechter 的本科数学中的常见错误
[1] 这些问题属于定义良好问题(well-defined problems),即含有明确的答案的问题,又称结构良好问题(well-structured problems)。
[2] 陶教授提供了第一、二章的ps文件下载,不过喜欢的朋友最好还是买一本留着看。
[3] 学数学过程中很常见的情形是“眼高手低”,以为自己懂了,到做题时才发现还没真正弄明白。游泳不下水肯定不行,数学不做题肯定不行。
[4] 没有完全解决了的问题,只有或多或少解决了的问题。(庞加莱)
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